Библиотека

4. Биквадратное уравнение

Общий вид биквадратного уравнения:

$a{x}^4\text{+b}{x}^2\text{+c}\text{=0, a≠0.}$

Алгоритм: выполнить замену t = x², где t ≥ 0; решить квадратное уравнение at² + bt + c = 0; для каждого неотрицательного t найти x = ±√t. При t < 0 действительных корней x нет.

Пример:

$x^4\text{-5}{x}^2\text{+4=0; t=}{x}^2\mathrm{.}$

$t^2\text{-5t+4=0 ⇒}\left(\text{t-1}\right)\left(\text{t-4}\right)\text{=0.}$

$t_1\text{=1,}{t}_2\text{=4 ⇒ x=±1, x=±2.}$

Ответ: −2; −1; 1; 2.

5. Кубическое уравнение

Общий вид кубического уравнения:

$a{x}^3\text{+b}{x}^2\text{+cx+d}\text{=0, a≠0.}$

Алгоритм: зачастую решается способом группировки.

Пример:

$x^3\text{-6}{x}^2\text{+11x-6=0.}$

Разбиваем средние слагаемые: −6x² = −5x² − x², а 11x = 6x + 5x.

$x^3\text{-5}{x}^2-x^2\text{+6x+5x-6=0.}$

Переставляем слагаемые и группируем так, чтобы в каждой группе появился множитель (x − 1):

$(x^3-x^2)+\left(\text{-5}{x}^2\text{+5x}\right)+\left(\text{6x-6}\right)\text{=0.}$

Выносим общий множитель из каждой группы, затем общий множитель (x − 1):

$x^2\left(\text{x-1}\right)\text{-5x}\left(\text{x-1}\right)\text{+6}\left(\text{x-1}\right)=\left(\text{x-1}\right)\left(x^2\text{-5x+6}\right)\text{=0.}$

$\left(\text{x-1}\right)\left(\text{x-2}\right)\left(\text{x-3}\right)\text{=0.}$

Ответ: 1; 2; 3.